onkeyupやonkeypressのタイミングでtextareaの内容をspanにコピーして、spanのoffsetWidthをtexareaの幅に設定してやればよい。 （ここでは40px余計に幅を取っている)
textareaとspanのフォント指定をまったく同じにしないと、微妙にずれてくる。
実際に使うときは、spanを visibility="hidden" にしてやればよい。

※IEの場合、[textarea].createTextRange().boundingWidthを使う手もある。

spanのoffsetWidth=

function resize() {
    var t = document.getElementById("test");// textarea
    var s = document.getElementById("hidden_span");// span
    s.innerHTML = t.value;
    t.style.width = s.offsetWidth + 40 + "px";// 40px余計に幅を取る。
    document.getElementById("info").innerHTML = s.offsetWidth + "px";
}